Калькулятор систем уравнений 2×2 онлайн

Бесплатный онлайн-калькулятор для решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Решает методом Крамера с пошаговым объяснением и проверкой. Идеально для школьников 7-9 классов.

Как подготовить систему

Запишите обе строки в форме a₁x+b₁y=c₁ иa₂x+b₂y=c₂. Переносите свободные члены вправо с правильным знаком. Коэффициенты вводятся отдельно, допускаются точка, запятая иE-запись. Свободный ввод выражений, умножение переменных и системы 3×3 здесь не поддерживаются.

Проверенный пример с подстановкой

2x+3y=12 иx−y=1: D=−5,Dₓ=−15,Dᵧ=−10. Поэтому x=3,y=2. Подстановка:2×3+3×2=12 и 3−2=1. Обе проверки выполняются точно рационально.

Пример, в котором определителей недостаточно

0x+0y=1 и 0x+0y=2 не имеют решений, хотя D,Dₓ,Dᵧ равны нулю. Противоречивые нулевые строки проверяются до Крамера. Система x+y=1,2x+2y=2 имеет бесконечно много решений, а x+y=1,2x+2y=3 — ни одного.

Формулы и точность

Для конечных десятичных коэффициентов определители точные, близкие значения не склеиваются произвольным порогом. Рациональные ответы и подстановки точные. Численный график двух невырожденных не вертикальных прямых — иллюстрация в указанном окне; очень близкие прямые могут визуально сливаться. Вертикальные и нулевые строки остаются в табличном решении.

Что такое система уравнений?

Система линейных уравнений — это два или более уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решение системы — это значения переменных, которые удовлетворяют всем уравнениям сразу.

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Метод Крамера

Метод Крамера — это способ решения систем линейных уравнений через определители. Он работает, когда определитель системы D ≠ 0.

Формулы метода Крамера

x = Dx / D,    y = Dy / D

Случаи решений системы

Примеры решения

Пример 1: Единственное решение

Решите систему:

2x + 3y = 12
x − y = 1

1. D = 2×(−1) − 1×3 = −2 − 3 = −5
2. Dx = 12×(−1) − 1×3 = −12 − 3 = −15
3. Dy = 2×1 − 1×12 = 2 − 12 = −10
4. x = Dx/D = −15/−5 = 3
5. y = Dy/D = −10/−5 = 2

Ответ: x = 3, y = 2

Проверка: 2×3 + 3×2 = 12 ✓ и 3 − 2 = 1 ✓

Пример 2: Нет решений

Решите систему:

x + y = 3
2x + 2y = 7

1. D = 1×2 − 2×1 = 0
2. Dx = 3×2 − 7×1 = −1 ≠ 0

Ответ: система не имеет решений (уравнения противоречат друг другу).

Другие методы решения систем

• Метод подстановки — выразить одну переменную через другую и подставить
• Метод сложения (элиминации) — сложить или вычесть уравнения, чтобы исключить переменную
• Графический метод — построить прямые и найти точку пересечения
• Метод Крамера — через определители (используется в нашем калькуляторе)

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что такое определитель системы?

Определитель D = a₁b₂ − a₂b₁ показывает, имеет ли система единственное решение. Если D ≠ 0 — решение единственное.

Можно ли решать системы 3×3 в этой форме?

Нет, здесь вводятся шесть коэффициентов двух линейных уравнений с неизвестными x и y: a₁x + b₁y = c₁ и a₂x + b₂y = c₂. Метод Крамера в общей теории применим и к квадратным системам большего размера при ненулевом определителе, но третьего уравнения и неизвестного z в этом калькуляторе нет.

Как перенести уравнения в поля коэффициентов?

Сначала запишите их в указанном виде, перенеся свободные числа вправо. Для 2x + 3y = 12 и x − y = 1 введите 2, 3, 12 в первую строку и 1, −1, 1 во вторую. Результат: x = 3, y = 2; подстановка даёт 2 × 3 + 3 × 2 = 12 и 3 − 2 = 1.

Что означает нулевой определитель?

Он означает, что единственное решение по формулам Крамера получить нельзя. Уравнения могут противоречить друг другу или задавать бесконечно много решений. Например, x + y = 2 и 2x + 2y = 4 описывают одну прямую, а при правой части 5 во втором уравнении решений нет. Калькулятор проверяет определители и отдельно противоречие вида 0x + 0y = c при c ≠ 0.

Можно ли вводить дробные коэффициенты?

Да, используйте конечную десятичную запись с точкой или запятой, например 0,5, либо E-запись. Выражение 1/2 в поле коэффициента не принимается: введите 0,5. Определители вычисляются точной рациональной арифметикой для введённых десятичных значений; погрешность самих исходных измерений форма не оценивает.

Зачем смотреть подстановку и график?

Для единственного решения таблица показывает x, y и проверку в обоих исходных уравнениях. Сравните правые части с введёнными c₁ и c₂. График — вспомогательная численная иллюстрация; для вертикальной прямой он не строится, но ответ и проверка остаются в таблице.