Калькулятор систем уравнений 2×2 онлайн
Бесплатный онлайн-калькулятор для решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Решает методом Крамера с пошаговым объяснением и проверкой. Идеально для школьников 7-9 классов.
Калькулятор систем уравнений 2×2
Решите систему: a₁x + b₁y = c₁ и a₂x + b₂y = c₂
Что такое система уравнений?
Система линейных уравнений — это два или более уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решение системы — это значения переменных, которые удовлетворяют всем уравнениям сразу.
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
Метод Крамера
Метод Крамера — это способ решения систем линейных уравнений через определители. Он работает, когда определитель системы D ≠ 0.
Формулы метода Крамера
| Определитель | Формула |
|---|---|
| D (главный) | D = a₁b₂ − a₂b₁ |
| Dx | Dx = c₁b₂ − c₂b₁ |
| Dy | Dy = a₁c₂ − a₂c₁ |
x = Dx / D, y = Dy / D
Случаи решений системы
| Условие | Решение |
|---|---|
| D ≠ 0 | Единственное решение (x, y) |
| D = 0, Dx = 0, Dy = 0 | Бесконечно много решений |
| D = 0, Dx ≠ 0 или Dy ≠ 0 | Нет решений (противоречие) |
Примеры решения
Пример 1: Единственное решение
Решите систему:
2x + 3y = 12
x − y = 1
- D = 2×(−1) − 1×3 = −2 − 3 = −5
- Dx = 12×(−1) − 1×3 = −12 − 3 = −15
- Dy = 2×1 − 1×12 = 2 − 12 = −10
- x = Dx/D = −15/−5 = 3
- y = Dy/D = −10/−5 = 2
Ответ: x = 3, y = 2
Проверка: 2×3 + 3×2 = 12 ✓ и 3 − 2 = 1 ✓
Пример 2: Нет решений
Решите систему:
x + y = 3
2x + 2y = 7
- D = 1×2 − 2×1 = 0
- Dx = 3×2 − 7×1 = −1 ≠ 0
Ответ: система не имеет решений (уравнения противоречат друг другу).
Другие методы решения систем
- Метод подстановки — выразить одну переменную через другую и подставить
- Метод сложения (элиминации) — сложить или вычесть уравнения, чтобы исключить переменную
- Графический метод — построить прямые и найти точку пересечения
- Метод Крамера — через определители (используется в нашем калькуляторе)
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Что такое определитель системы?
Определитель D = a₁b₂ − a₂b₁ показывает, имеет ли система единственное решение. Если D ≠ 0 — решение единственное.
Можно ли решать системы 3x3?
Да, метод Крамера обобщается на системы любого размера. Но для 3x3 и больше удобнее использовать метод Гаусса.
Почему метод называется "Крамера"?
В честь швейцарского математика Габриэля Крамера, который опубликовал этот метод в 1750 году.
Связанные калькуляторы
Вам также могут быть полезны: