Калькулятор квадратных корней онлайн

Бесплатный онлайн-калькулятор для вычисления квадратных корней. Наш инструмент не только находит приближённое десятичное значение, но и упрощает корень (выносит множитель из-под знака корня) с пошаговым объяснением.

Инструкция и точный вид

1. Введите неотрицательное число; десятичная запятая и E-запись допустимы.
2. Режим корня показывает точную запись отдельно от численного приближения.
3. Обратный режим находит число по его неотрицательному главному корню.

Десятичные значения сначала превращаются в точную дробь p/q. Используется √(p/q)=√(pq)/q с извлечением квадратных множителей. Факторизация выполняется для целого радиканда pq до 10¹²; у больших чисел сохраняется точная запись под корнем, а полные квадраты распознаются отдельно.

Контрольная таблица

√36=6; запись ±6 относится к решениям уравнения x²=36. Для отрицательного подкоренного числа действительного главного квадратного корня нет. Для корня другой степени используйте степени и корни.

Что такое квадратный корень?

Квадратный корень из неотрицательного числа a — это число, квадрат которого равен a; главный корень дополнительно неотрицателен. Обозначается символом √ (радикал).

Если x² = a и x ≥ 0, то x = √a

Например: √9 = 3, потому что 3² = 3 × 3 = 9.

Свойства квадратных корней

• Корень из произведения: √(a × b) = √a × √b, a≥0 и b≥0
• Корень из дроби: √(a / b) = √a / √b, a≥0 и b>0
• Корень из квадрата: √(a²) = |a| (модуль числа)
• Корень из нуля: √0 = 0
• Корень из отрицательного числа: не существует в действительных числах (√-4 = нет решения).

Как упростить квадратный корень (вынести множитель)

Чтобы упростить корень, нужно найти в подкоренном выражении полный квадрат (число, которое является квадратом целого числа: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...).

Алгоритм упрощения:

1. Разложите число под корнем на множители, один из которых — наибольший возможный полный квадрат.
2. Используйте свойство √(a × b) = √a × √b.
3. Вычислите корень из полного квадрата и вынесите его за знак корня.

Примеры упрощения корней

Пример 1: Упростить √72

1. Ищем полный квадрат в делителях 72. Это 36 (так как 6² = 36).
2. Разлагаем: 72 = 36 × 2
3. Применяем свойство: √72 = √(36 × 2) = √36 × √2
4. Вычисляем: √36 = 6

Ответ: √72 = 6√2

Пример 2: Упростить √50

1. Наибольший полный квадрат в делителях 50 — это 25 (5² = 25).
2. Разлагаем: 50 = 25 × 2
3. √50 = √25 × √2 = 5√2

Ответ: √50 = 5√2

Пример 3: Упростить √12

1. Наибольший полный квадрат — 4 (2² = 4).
2. 12 = 4 × 3
3. √12 = √4 × √3 = 2√3

Ответ: √12 = 2√3

Таблица квадратных корней: примеры значений

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Можно ли извлечь корень из отрицательного числа?

В этой форме вычисляется главный квадратный корень в действительных числах, поэтому отрицательное подкоренное число отклоняется. Например, √9 = 3, а уравнение x² = 9 имеет два решения: 3 и −3. Ноль допустим и даёт корень 0. Комплексные корни здесь не выводятся.

Чем отличается квадратный корень от кубического?

Квадратный корень (√) ищет число, которое при умножении само на себя даёт исходное (x × x = a). Кубический корень (³√) ищет число, которое при умножении три раза даёт исходное (x × x × x = a).

Как умножить корни?

Для неотрицательных a и b верно √a × √b = √(a × b). Например, √2 × √3 = √6, а 2√3 × 3√5 = 6√15. Текущая форма принимает одно числовое подкоренное значение, не выражение с несколькими радикалами: объединение выполняется вручную.

Как сложить корни?

Складывать можно только подобные корни (с одинаковым подкоренным выражением). Например: 2√5 + 3√5 = 5√5. А вот √2 + √3 упростить нельзя.

Является ли √2 рациональным числом?

Нет. √2 — это иррациональное число. Его нельзя представить в виде обыкновенной дроби, а его десятичное представление бесконечно и непериодично (1.41421356...).

Как вводить дробные числа и читать точное упрощение?

Используйте конечную десятичную запись с точкой, запятой или E-записью, например 0,25. Тогда точный результат — 0,5, то есть 1/2. Для 72 форма выделяет квадратный множитель: √72 = 6√2. Запись «1/4» или «6√2» в поле не является числовым вводом. Факторизация радиканда ограничена 10¹²; большие точные квадраты распознаются отдельно.

Как работает режим «Число по главному корню»?

Введите неотрицательное значение известного корня, форма возведёт его в квадрат. Если главный корень равен 3, исходное число — 9; для 0,5 — 0,25. Отрицательный ввод не допускается, потому что главный корень по принятому определению неотрицателен. Приближение на экране не превращает иррациональное число в точную десятичную дробь.