Калькулятор квадратных уравнений онлайн

Используйте наш бесплатный калькулятор для решения квадратных уравнений вида ax² + bx + c = 0 с пошаговым объяснением. Идеально подходит для подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и помощи школьникам с домашним заданием.

Как вводить коэффициенты и читать результат

Приведите уравнение к ax²+bx+c=0 и введите коэффициенты со знаками. Допустимы точка, запятая и E-запись. При a=0 калькулятор теперь решает линейный случай bx+c=0, включая тождество и противоречие. При D<0 отдельно показаны комплексные корни, а отсутствие действительных не объявляется отсутствием любых корней.

Проверка на дробных коэффициентах

0,1x²+0,2x+0,1=0: D=0 точно, корень x=−1. Подстановка:0,1−0,2+0,1=0. Коэффициенты десятичного ввода и знакD обрабатываются рационально, без случайного «почти нуля».

Проверка устойчивости малого корня

Для x²+10¹⁶x+1=0 корни приблизительно −10¹⁶ и−10⁻¹⁶. Прямое вычитание близких чисел может потерять малый корень; форма использует q/a иc/q. Контроль по Виету: сумма≈−10¹⁶, произведение≈1. Кратность и точные рациональные корни определяются отдельно от приближённого графика.

Точность и окно графика

До 100 цифр во входе, ненулевой модуль от 10⁻¹⁰⁰ до 10¹⁰⁰. Дискриминант точный для введённых конечных десятичных данных. Рациональные корни показаны дробями, иррациональные — с 10 значащими цифрами. График строится численно в подписанном окне и не доказывает существование/кратность корня.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение второй степени вида ax² + bx + c = 0, где:

• a — коэффициент при x² (a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным)
• b — коэффициент при x
• c — свободный член
• x — неизвестная переменная

Формула дискриминанта

Для решения квадратного уравнения используется универсальная формула дискриминанта:

D = b² - 4ac

Количество корней квадратного уравнения

Формулы нахождения корней

x₁ = (-b + √D) / 2a
x₂ = (-b - √D) / 2a

Примеры решения

Пример 1: Два корня

Решим уравнение: x² - 5x + 6 = 0

1. Определяем коэффициенты: a = 1, b = -5, c = 6
2. Вычисляем дискриминант: D = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1
3. D > 0, значит два корня
4. x₁ = (5 + 1) / 2 = 3
5. x₂ = (5 - 1) / 2 = 2

Ответ: x₁ = 3, x₂ = 2

Пример 2: Один корень

Решим уравнение: x² - 4x + 4 = 0

1. Коэффициенты: a = 1, b = -4, c = 4
2. D = (-4)² - 4·1·4 = 16 - 16 = 0
3. D = 0, значит один корень
4. x = 4 / 2 = 2

Ответ: x = 2

Пример 3: Нет действительных корней

Решим уравнение: x² + x + 1 = 0

1. Коэффициенты: a = 1, b = 1, c = 1
2. D = 1² - 4·1·1 = 1 - 4 = -3
3. D < 0, действительных корней нет

Ответ: действительных корней нет

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что делать, если коэффициент a равен нулю?

Если a = 0, уравнение превращается в линейное: bx + c = 0. При b ≠ 0 корень x = -c/b. При b = 0 и c = 0 подходит любое x, при b = 0 и c ≠ 0 решений нет. Калькулятор обрабатывает эти случаи автоматически.

Можно ли решить квадратное уравнение без дискриминанта?

Да, можно использовать теорему Виета, если коэффициент a = 1. По теореме Виета: x₁ + x₂ = -b и x₁ · x₂ = c. Это помогает быстрее подбирать корни.

Как заполнить коэффициенты квадратного уравнения?

Сначала приведите запись к ax²+bx+c=0. Для x²−5x+6=0 введите a=1, b=−5, c=6; отсутствие члена с x означает b=0. Поля принимают числа, в том числе десятичные с точкой или запятой, но не текст уравнения со скобками.

Что означают знак дискриминанта и повторный корень?

При a≠0 дискриминант D=b²−4ac определяет корни. Для x²−5x+6=0 D=1, корни 2 и 3. Для x²−4x+4=0 D=0, единственный различный корень 2 имеет кратность два. При D<0 действительных корней нет, но форма показывает комплексную пару: у x²+1=0 это i и −i.

Как проверить каждый корень подстановкой?

Для x²−5x+6=0 проверяйте оба ответа отдельно: 2²−5×2+6=0 и 3²−5×3+6=0. Если корень иррациональный и вы подставили округлённое число, может получиться небольшой ненулевой остаток. Для проверки используйте больше значащих цифр, а не требуйте точного нуля от округлённого значения.

Что такое приведённое квадратное уравнение?

Это уравнение, в котором коэффициент a = 1 (например, x² - 5x + 6 = 0). Для таких уравнений удобно использовать теорему Виета.

Какие результаты здесь точные, а какие приближённые?

Десятичные коэффициенты обрабатываются как точные дроби; знак D не определяется округлением около нуля. Если корни выражаются рациональными числами, форма сохраняет точную запись. Иррациональные корни выводятся приближённо, комплексные — через действительную и мнимую части. Это решатель одного уравнения второй степени, а не парсер произвольных алгебраических выражений.