Калькулятор прогрессий онлайн
Бесплатный онлайн-калькулятор для нахождения n-го члена и суммы прогрессии. Поддерживает арифметическую и геометрическую прогрессии с пошаговым решением для школьников 9-11 классов.
Калькулятор прогрессий
Что такое арифметическая прогрессия?
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину (разность d).
aₙ = a₁ + (n-1)d
Пример: 2, 5, 8, 11, 14... (a₁ = 2, d = 3)
Формулы арифметической прогрессии
| Что найти | Формула |
|---|---|
| n-й член | aₙ = a₁ + (n-1)d |
| Сумма n членов | Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 |
| Разность | d = a₂ - a₁ |
Что такое геометрическая прогрессия?
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель q).
bₙ = b₁ × q^(n-1)
Пример: 2, 6, 18, 54, 162... (b₁ = 2, q = 3)
Формулы геометрической прогрессии
| Что найти | Формула |
|---|---|
| n-й член | bₙ = b₁ × q^(n-1) |
| Сумма n членов | Sₙ = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1) |
| Знаменатель | q = b₂/b₁ |
Примеры решения
Пример 1: Арифметическая прогрессия
Найдите 10-й член и сумму 10 членов прогрессии: 3, 7, 11, 15...
- a₁ = 3, d = 4 (так как 7 - 3 = 4)
- a₁₀ = 3 + (10-1) × 4 = 3 + 36 = 39
- S₁₀ = 10 × (3 + 39) / 2 = 10 × 42 / 2 = 210
Ответ: a₁₀ = 39, S₁₀ = 210
Пример 2: Геометрическая прогрессия
Найдите 6-й член и сумму 6 членов прогрессии: 2, 6, 18, 54...
- b₁ = 2, q = 3 (так как 6/2 = 3)
- b₆ = 2 × 3^5 = 2 × 243 = 486
- S = 2 × (3^6 - 1) / (3 - 1) = 2 × 728 / 2 = 728
Ответ: b₆ = 486, S₆ = 728
Где применяются прогрессии?
- Финансы: расчёт сложных процентов, кредитов, вкладов
- Физика: равномерное движение, радиоактивный распад
- Биология: рост популяций, деление клеток
- Информатика: алгоритмы, сложность вычислений
- ЕГЭ и ОГЭ: задачи на прогрессии в экзаменах
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Как отличить арифметическую прогрессию от геометрической?
В арифметической прогрессии числа складываются с разностью d (2, 5, 8, 11...). В геометрической — умножаются на знаменатель q (2, 6, 18, 54...).
Что такое бесконечно убывающая геометрическая прогрессия?
Это прогрессия, где |q| < 1 (например, 1, 1/2, 1/4, 1/8...). Её сумма сходится к конечному числу: S = b₁/(1-q).
Как найти разность арифметической прогрессии?
Вычтите из любого члена предыдущий: d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ...
Как найти знаменатель геометрической прогрессии?
Разделите любой член на предыдущий: q = b₂/b₁ = b₃/b₂ = ...
Может ли прогрессия быть убывающей?
Да. Арифметическая прогрессия убывает, если d < 0. Геометрическая убывает, если 0 < q < 1.
Связанные калькуляторы
Вам также могут быть полезны: