Калькулятор прогрессий онлайн

Бесплатный онлайн-калькулятор для нахождения n-го члена и суммы прогрессии. Поддерживает арифметическую и геометрическую прогрессии с пошаговым решением для школьников 9-11 классов.

Как пользоваться калькулятором

1. Выберите тип последовательности и искомую величину.
2. Введите известные значения; номер n — целое число от 1 до 1000.
3. Сверьте первый и последний члены, сумму и таблицу. Она показывает первые 50 членов, но сумма учитывает все n.

Точные дроби не округляются. Очень длинный результат отклоняется с просьбой уменьшить n или точность исходных данных. В геометрическом режиме q=0 трактуется рекуррентно: b₁, 0, 0…; это расширение обычного школьного определения с ненулевыми членами.

Обратные расчёты и контрольные примеры

При n=1 разность по первому и последнему членам не определяется. При q=0 и n>1 нельзя однозначно восстановить первый член по последнему. Для решения отдельной степени используйте степени и корни.

Что такое арифметическая прогрессия?

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину (разность d).

aₙ = a₁ + (n-1)d

Пример: 2, 5, 8, 11, 14... (a₁ = 2, d = 3)

Формулы арифметической прогрессии

Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель q).

bₙ = b₁ × q^(n-1)

Пример: 2, 6, 18, 54, 162... (b₁ = 2, q = 3)

Формулы геометрической прогрессии

Примеры решения

Пример 1: Арифметическая прогрессия

Найдите 10-й член и сумму 10 членов прогрессии: 3, 7, 11, 15...

1. a₁ = 3, d = 4 (так как 7 - 3 = 4)
2. a₁₀ = 3 + (10-1) × 4 = 3 + 36 = 39
3. S₁₀ = 10 × (3 + 39) / 2 = 10 × 42 / 2 = 210

Ответ: a₁₀ = 39, S₁₀ = 210

Пример 2: Геометрическая прогрессия

Найдите 6-й член и сумму 6 членов прогрессии: 2, 6, 18, 54...

1. b₁ = 2, q = 3 (так как 6/2 = 3)
2. b₆ = 2 × 3^5 = 2 × 243 = 486
3. S = 2 × (3^6 - 1) / (3 - 1) = 2 × 728 / 2 = 728

Ответ: b₆ = 486, S₆ = 728

Где применяются прогрессии?

• Финансы: расчёт сложных процентов, кредитов, вкладов
• Физика: равномерное движение, радиоактивный распад
• Биология: рост популяций, деление клеток
• Информатика: алгоритмы, сложность вычислений
• ЕГЭ и ОГЭ: задачи на прогрессии в экзаменах

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Как отличить арифметическую прогрессию от геометрической?

В арифметической прогрессии числа складываются с разностью d (2, 5, 8, 11...). В геометрической — умножаются на знаменатель q (2, 6, 18, 54...).

Как найти член и сумму арифметической прогрессии?

Выберите арифметическую прогрессию и поиск последнего члена и суммы. Для a₁=2, d=3, n=4 получатся 2, 5, 8, 11, последний член 11 и сумма 26. Число членов — целое от 1 до 1000; таблица показывает первые 50, но сумма учитывает все n.

Чем сумма первых n членов отличается от бесконечной суммы?

В геометрическом режиме форма считает конечную сумму и дополнительно выводит сумму бесконечного ряда при |q|<1. Для b₁=1, q=0,5, n=4 конечная сумма равна 15/8=1,875, а бесконечная — 2. При |q|≥1 дополнительная строка не выводится. Это ограничение вывода формы; нулевая последовательность отдельно не классифицируется по сходимости.

Как найти разность арифметической прогрессии?

Вычтите из любого члена предыдущий: d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ...

Как найти знаменатель геометрической прогрессии?

Разделите член на предыдущий ненулевой член: q = b₂/b₁. При нулевом предыдущем члене это деление недопустимо.

Может ли прогрессия быть убывающей?

Да. Арифметическая прогрессия убывает, если d < 0. При положительном первом члене геометрическая строго убывает, если 0 < q < 1; знак первого члена имеет значение.

Какие обратные задачи доступны?

Для обоих видов можно восстановить первый член по последнему, шагу и числу членов. В арифметической прогрессии доступен и поиск d: при a₁=2, a₄=11 и n=4 получаем d=3; при n=1 разность не определяется. Обратного поиска геометрического q нет: выбранная такая комбинация отклоняется, поскольку задача может иметь несколько решений.

Что произойдёт при d=0, q=0 или q=1?

При d=0 все арифметические члены одинаковы. При q=1 геометрическая сумма равна n×b₁. При q=0 форма использует рекуррентную последовательность b₁, 0, 0…: для b₁=5 и n=4 сумма 5. Восстановить b₁ по нулевому последнему члену при q=0 и n>1 эта форма не может: возникает неоднозначное деление на ноль.