Калькулятор комбинаторики онлайн

Бесплатный онлайн-калькулятор для решения задач по комбинаторике. Вычисляет факториал числа, количество перестановок, размещений и сочетаний с подробным пошаговым решением. Незаменимый инструмент для школьников 9-11 классов при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике (профильный уровень), а также для студентов технических и экономических специальностей.

Инструкция: порядок и повторения

1. Определите, различаются ли выбранные объекты и важен ли порядок.
2. Выберите режим с повторениями только тогда, когда один объект разрешено использовать несколько раз.
3. Введите целые n и k от 0 до 1000. Для одинаковых элементов в перестановке задайте кратности через точку с запятой; их сумма должна равняться n.

Результаты вычисляются как целые без округления; число цифр считается по полной десятичной записи. Для пустого выбора k=0 есть один вариант. В режиме размещений с повторениями n=0, k=0 означает один пустой набор — это комбинаторная конвенция, а не общий ответ о значении 0⁰.

Дополнительные режимы: шпаргалка

Обратного поиска n по ответу нет: у комбинаторных задач он часто неоднозначен. Для оценки степени без подсчёта вариантов есть калькулятор степеней.

Что такое комбинаторика?

Комбинаторика — это раздел математики, который изучает способы подсчёта количества комбинаций, подчиняющихся тем или иным условиям. Проще говоря, комбинаторика отвечает на вопросы вида «сколькими способами можно...»: выбрать команду, рассадить гостей, разложить предметы, составить расписание.

Задачи комбинаторики встречаются не только в учебниках, но и в повседневной жизни: при составлении расписания, распределении обязанностей, выборе меню, организации турниров, расчёте вероятностей и даже в криптографии.

Основные понятия комбинаторики

Факториал

Факториал числа n (обозначается n!) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n

Примеры:

• 0! = 1 (по определению)
• 1! = 1
• 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120
• 10! = 3 628 800

Перестановки

Перестановка — это упорядоченный набор из n элементов, то есть расположение этих n элементов в определённом порядке. Количество перестановок равно n!.

P_n = n!

Пример: сколькими способами можно рассадить 5 человек на 5 стульев? Ответ: P₅ = 5! = 120 способов.

Размещения

Размещение из n элементов по k — это упорядоченный набор из k элементов, выбранных из n имеющихся. Здесь важен порядок: выбор ABC и ACB считаются разными размещениями.

A_n^k = n! / (n − k)!

Пример: сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя и казначея из 10 учеников? Ответ: A₁₀³ = 10! / 7! = 720 способов.

Сочетания

Сочетание из n элементов по k — это неупорядоченный набор из k элементов, выбранных из n имеющихся. Здесь порядок не важен: выбор ABC и ACB считаются одним и тем же сочетанием.

C_n^k = n! / (k! × (n − k)!)

Пример: сколькими способами можно выбрать 6 чисел из 36 в лотерее? Ответ: C₃₆⁶ = 1 947 792 способов.

Сводная таблица формул

Как понять, какую формулу применять?

Это главный вопрос в комбинаторике. Используйте простое правило:

1. Используем все элементы? Если да — это перестановки (P_n).
2. Порядок важен? Если да — это размещения (A_n^k).
3. Порядок не важен? Если нет — это сочетания (C_n^k).

Примеры решения задач

Пример 1: Перестановки

Задача. Сколькими способами можно расставить на полке 7 разных книг?

Решение. Все 7 книг используются, порядок важен → перестановки.

1. P₇ = 7!
2. 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

Ответ: 5040 способов.

Пример 2: Размещения

Задача. В классе 25 учеников. Нужно выбрать президента, вице-президента и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Выбираем 3 из 25, должности разные (порядок важен) → размещения.

1. A₂₅³ = 25! / (25 − 3)! = 25! / 22!
2. = 25 × 24 × 23 = 13 800

Ответ: 13 800 способов.

Пример 3: Сочетания

Задача. В группе 30 студентов. Нужно выбрать комиссию из 4 человек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Выбираем 4 из 30, все равны (порядок не важен) → сочетания.

1. C₃₀⁴ = 30! / (4! × 26!)
2. = (30 × 29 × 28 × 27) / (1 × 2 × 3 × 4)
3. = 657 720 / 24 = 27 405

Ответ: 27 405 способов.

Пример 4: Задача из ЕГЭ

Задача. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотые, серебряные и бронзовые медали?

Решение. Выбираем 3 команды из 16, медали разные (порядок важен) → размещения.

1. A₁₆³ = 16! / 13! = 16 × 15 × 14 = 3360

Ответ: 3360 способов.

Бином Ньютона и треугольник Паскаля

Сочетания тесно связаны с биномом Ньютона — формулой разложения степени суммы:

(a + b)ⁿ = Σ C_n^k · a^n−k · b^k

Коэффициенты бинома образуют треугольник Паскаля — знаменитую числовую фигуру, в которой каждое число равно сумме двух чисел над ним.

Применение комбинаторики в жизни

• Теория вероятностей — расчёт вероятности событий (от игр до страхования)
• Криптография — оценка стойкости паролей и шифров
• Программирование — алгоритмы, анализ сложности, генерация комбинаций
• Логистика — задача коммивояжёра, маршрутизация
• Генетика — расчёт возможных комбинаций генов
• Лингвистика — анализ возможных словоформ
• Экономика — формирование портфеля, распределение ресурсов

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Чем отличается размещение от сочетания?

В размещении важен порядок элементов (выбор ABC и ACB — разные), а в сочетании — не важен (ABC и ACB — одно и то же). Пример: выбрать трёх дежурных по классу — сочетание (все равны). Выбрать президента, зама и казначея — размещение (должности разные).

Почему 0! = 1?

Это определение, которое делает математику согласованной. Во-первых, есть ровно один способ ничего не делать — «пустая перестановка». Во-вторых, так работают формулы: например, C_nⁿ = n! / (n! × 0!) должно равняться 1, и это верно только при 0! = 1.

Какое самое большое число, для которого работает факториал?

Эта форма вычисляет точные целые ответы для n и k до 1000; предел выбран для удобства работы в браузере, а не из-за переполнения обычного числового типа.

Как быстро посчитать факториал в уме?

Для маленьких чисел — просто перемножить: 5! = 1×2×3×4×5 = 120. Запомните основные значения: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040, 10! = 3 628 800.

Как выбрать перестановки, размещения или сочетания?

Если используются все n различных элементов и важен порядок, выберите перестановки: для n=5 это 5!=120. Для упорядоченного выбора k из n — размещения, для неупорядоченного — сочетания. При n=5, k=2 без повторений получатся 20 размещений и 10 сочетаний. Факториал — отдельный режим с тем же числом n!.

Как учитывать повторный выбор и одинаковые элементы?

Размещения с повторениями дают nᵏ: из 3 символов строк длины 2 будет 9. Сочетания с повторениями при n=3, k=2 дают 6 неупорядоченных наборов. Для перестановок одинаковых элементов укажите кратности через пробел или точку с запятой: n=4 и группы 2;2 дают 4!/(2!×2!)=6. Сумма кратностей обязана равняться n; допускается до 100 групп.

Какие значения n и k недопустимы?

Вводите неотрицательные целые от 0 до 1000 без дробной части и E-записи. В режимах без повторений требуется k≤n; при k=0 пустой выбор имеет один вариант. При повторениях k может превышать n. Форма считает число вариантов, но не перечисляет их и не вычисляет вероятность без отдельной модели равновозможных исходов.