Матрицы 2×2: калькулятор онлайн

Сложение и умножение матриц 2×2, вычисление определителя и обратной матрицы с формулами и примерами.

Что рассчитывает калькулятор

Матрица 2×2 — таблица из двух строк и двух столбцов. Такая запись удобна для линейных преобразований плоскости и компактной работы с коэффициентами. Калькулятор складывает и перемножает две вещественные матрицы, находит определитель A и, когда это возможно, обратную матрицу A.

Результат матричной операции выводится двумя строками. Числа, разделённые точкой с запятой в одной строке, относятся к первому и второму столбцам. Определитель выводится отдельным числом только в соответствующем режиме.

Как пользоваться

1. Выберите операцию: A × B, A + B, определитель A или обратная матрица A.
2. Заполните элементы A по подписям строки и столбца: сначала a и b в первой строке, затем c и d во второй.
3. При сложении и умножении так же заполните B. В режимах определителя и обращения поля B скрыты и в расчёте не участвуют.
4. Нажмите «Рассчитать» и прочитайте результат построчно. Для проверки обращения можно перенести полученную матрицу в B и вычислить A × B: должна получиться единичная матрица с учётом точности чисел.

Формулы и обозначения

A = [[a, b], [c, d]]; B = [[e, f], [g, h]]

В этой записи внутренняя пара квадратных скобок обозначает одну строку, а не один столбец. Все элементы формы — вещественные числа.

A + B = [[a + e, b + f], [c + g, d + h]]

Складываются элементы, стоящие на одинаковых местах.

A × B = [[ae + bg, af + bh], [ce + dg, cf + dh]]

Каждый элемент произведения получается из строки A и столбца B. Это не поэлементное умножение.

det A = ad − bc; A⁻¹ = [[d, −b], [−c, a]] / det A

Обратная матрица существует при ненулевом определителе. На det A делится каждый из четырёх элементов.

Примеры расчётов

Определитель и устойчивость обращения

Нулевой определитель означает линейную зависимость строк и отсутствие обратной матрицы. Например, у [[1, 2], [2, 4]] определитель 4 − 4 = 0. Ненулевой, но очень малый определитель относительно элементов также делает обращение чувствительным к округлению.

Форма отклоняет обращение, если |det A| ≤ 16εM², где M — максимальный модуль элемента, ε — машинная точность Number. Это ограничение численной устойчивости реализации. Режим определителя при этом может показывать само вычисленное число.

Как не перепутать операции

• Умножение матриц обычно некоммутативно: A × B и B × A нужно считать отдельно.
• Нулевая матрица допустима при сложении и умножении, но не имеет обратной.
• Здесь нет матриц других размеров, комплексных элементов и автоматического решения систем. Для системы двух уравнений есть отдельный инструмент ниже.

Источники и допущения

Материалы ниже поясняют определения и используемые зависимости. Числа в примерах — учебные условия, а ограничения формы описаны на этой странице.

• операции над матрицами
• обратная матрица

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Можно ли вводить отрицательные числа и дроби?

Да. Элементы могут быть положительными, отрицательными и нулевыми. Для десятичной дроби подходит точка или запятая; обыкновенную дробь вроде 1/2 нужно сначала записать как 0,5.

Почему результат умножения не равен произведению элементов на тех же местах?

Матричное произведение использует строку первого множителя и столбец второго. Поэлементная операция устроена иначе и этой формой не выполняется.

Почему обратная матрица не вычисляется?

Матрица может быть вырожденной или слишком близкой к вырожденной для надёжного обращения в используемой арифметике. Проверьте исходные элементы и определитель.

Есть ли у матричных элементов единицы измерения?

Калькулятор выполняет операции над числами без автоматического контроля размерностей. Если матрица описывает физическую модель, согласованность единиц её элементов нужно проверить отдельно.