Калькулятор эллипса: площадь, периметр и фокусы

Задайте размеры эллипса удобным способом. Площадь и фокусы определяются по геометрическим формулам, а длина границы оценивается приближением Рамануджана.

Полуоси, площадь и положение фокусов

Эллипс задают две взаимно перпендикулярные полуоси: большая a и малая b. Полные размеры фигуры равны 2a и 2b. Фокусы лежат на большой оси на одинаковом расстоянии c от центра. Для каждой точки границы сумма расстояний до них равна 2a.

Четыре способа задать фигуру

1. Введите полуоси a и b, если известны половины размеров.
2. Выберите полные оси, если измерены длина и ширина через центр: модель разделит обе величины на два.
3. По a и эксцентриситету e восстановите b. Допустимо 0≤e<1.
4. По a и расстоянию c от центра до одного фокуса восстановите малую полуось. Расстояние между фокусами равно 2c.

Большая полуось должна быть не меньше малой. Форма не переставляет их молча. Все длины задаются в одной единице; эксцентриситет не имеет размерности.

Геометрические формулы и приближение периметра

S=πab; c=√(a²−b²); e=c/a; b=a√(1−e²).

h=((a−b)/(a+b))²; P≈π(a+b)·[1+3h/(10+√(4−3h))].

Вторая формула Рамануджана даёт приближённую длину границы. Точное математическое представление связано с полным эллиптическим интегралом второго рода: P=4aE(e). Здесь этот интеграл не вычисляется. Метод не имеет одной и той же относительной ошибки при любой вытянутости: для очень плоских эллипсов расхождение растёт. В пределе b/a→0 формула даёт около 3,99839a вместо предельных 4a, то есть занижение примерно на 0,0402%.

Числовые примеры и контроль окружностью

Полуоси 5 и 3 см

Площадь равна 15π≈47,123890 см². c=√(25−9)=4 см, расстояние между фокусами 8 см, e=0,8. Приближённый периметр по используемой формуле равен 25,526999 см. Тот же результат дают полные оси 10 и 6 см, либо a=5 см и e=0,8, либо a=5 см и c=4 см.

Когда эллипс превращается в окружность

При a=b=3 см фокусы совпадают с центром: c=0, e=0. Площадь равна 9π≈28,274334 см², периметр — 6π≈18,849556 см. Для окружности приближение периметра сводится к обычной формуле 2πa.

Разметка и ограничения

Схема помогает различить оси и фокусы; отношение полуосей сохраняется, но измерять физические размеры по экрану нельзя. Для реальной детали проверьте форму: произвольный овал не обязан быть эллипсом. Калькулятор не рассчитывает припуски, деформации, длину дуги или орбитальные параметры. Поддерживается b/a≥10⁻⁶; меньшие отношения отклоняются. Округление до восьми значащих цифр относится к отображению, а не к гарантированной точности периметра.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Чем полуось отличается от полной длины эллипса?

Полуось идёт от центра до крайней точки, полная ось — между двумя противоположными крайними точками. У детали длиной 10 см и шириной 6 см полуоси равны 5 и 3 см. Если в режиме полуосей ввести 10 и 6, площадь окажется в четыре раза больше, а периметр — вдвое больше нужного.

Что вводить, если известна дистанция между фокусами?

Разделите её на два перед вводом c. При расстоянии 8 см между фокусами c=4 см. Вместе с большой полуосью 5 см это даёт b=3 см. Если ошибочно ввести c=8 при a=5, форма отклонит данные: фокус обычного эллипса расположен внутри большой оси.

Может ли эксцентриситет равняться нулю или единице?

Ноль допустим и означает окружность, у которой обе полуоси равны. Единица приводит к нулевой малой полуоси и вырожденной фигуре, поэтому не поддерживается. Значения около единицы требуют внимания к исходной точности: небольшая ошибка e сильно меняет очень малую b.

Почему периметр отмечен знаком приближения?

В отличие от площади πab, длина эллипса в общем случае не выражается такой же простой элементарной формулой. Здесь применяется Рамануджан II. Показанные восемь цифр удобны для сравнения, но не делают аппроксимацию точной; для задачи с заданным допуском нужно отдельно оценить ошибку метода и измерений.

Можно ли поменять a и b местами?

Геометрически поворот эллипса не меняет площадь и периметр, но в обозначениях этой формы a — большая полуось. Если b>a, переставьте значения самостоятельно. Это сохраняет однозначность режимов по эксцентриситету и фокусу и предотвращает скрытое исправление исходных данных.

Как эксцентриситет связан с процентом сжатия?

e не равен 1−b/a. При a=5, b=3 отношение b/a=0,6, уменьшение малой оси относительно большой — 40%, а e=0,8. Связь задаётся квадратами: e=√(1−(b/a)²). Если известен процент, сначала восстановите отношение осей или сами полуоси.

Подойдёт ли калькулятор для овального стола?

Только если его контур действительно эллиптический. Овал из прямых участков и полуокружностей имеет другую площадь и длину границы даже при тех же габаритах. Сверьте чертёж или форму изделия; два крайних размера сами по себе не доказывают, что перед вами эллипс.

Что произойдёт при переводе сантиметров в миллиметры?

Длины и периметр увеличатся численно в 10 раз, площадь — в 100, а e останется прежним. Полуоси 5 и 3 см эквивалентны 50 и 30 мм. Сам выбор миллиметров не переводит 5 в 50: число и единицу нужно менять согласованно.