Комплексные числа: калькулятор онлайн

Сложите, вычтите, умножьте или разделите два комплексных числа. Найдите действительную и мнимую части, модуль и аргумент результата.

Что рассчитывает калькулятор

Комплексное число z = a + bi состоит из действительной части a и мнимой части b; число i определяется равенством i² = −1. Калькулятор выполняет четыре арифметических действия над двумя такими числами и показывает обе части результата, его модуль и аргумент.

На комплексной плоскости числу a + bi соответствует точка (a, b). Горизонтальная координата — действительная часть, вертикальная — мнимая. Модуль — расстояние до начала координат, аргумент — угол направления. Форма выдаёт числовые значения, но не строит график.

Как пользоваться

1. В поле «Операция» выберите сложение, вычитание, умножение или деление.
2. Введите отдельно действительную и мнимую части z₁ и z₂. Для 1 − 2i нужно ввести 1 и −2; букву i в поля не добавляйте.
3. Нажмите «Рассчитать». Соберите число из двух частей результата, сохранив знак мнимой части.
4. Модуль читайте как неотрицательное число, аргумент — в градусах. Если результат нулевой, его аргумент не определён.

Формулы и обозначения

z₁ ± z₂ = (a ± c) + (b ± d)i

Пусть z₁ = a + bi, z₂ = c + di. При сложении и вычитании действительные и мнимые части обрабатываются отдельно.

z₁ × z₂ = (ac − bd) + (ad + bc)i

Минус в действительной части появляется из произведения bi × di = −bd.

z₁ / z₂ = (ac + bd)/(c² + d²) + [(bc − ad)/(c² + d²)]i

Формула получается умножением числителя и знаменателя на сопряжённое c − di. Знаменатель должен быть ненулевым.

|z| = √(x² + y²); φ = atan2(y, x) × 180 / π

Здесь x и y — части уже вычисленного результата. atan2 учитывает четверть плоскости; обычного arctan(y/x) для этого недостаточно.

Примеры расчётов

Как связаны модуль и направление

При сложении комплексные числа складываются как векторы. При умножении модули перемножаются, а углы складываются с приведением к выбранному диапазону. Поэтому комплексная запись удобна для описания поворотов и колебаний, хотя эта форма не моделирует конкретный физический процесс.

Аргумент выдаётся в диапазоне от −180° до 180°. Отрицательный угол отсчитывается по часовой стрелке от положительной действительной полуоси. У нулевого результата модуль равен нулю, а направления нет.

Проверка знаков и точности

• Мнимая часть — коэффициент при i, а не число с дописанной буквой. Для −i вводите −1.
• На нулевое комплексное число делить нельзя: обе части делителя не должны одновременно равняться нулю.
• Не округляйте промежуточные части вручную, если затем проверяете модуль. Форма использует неокруглённые значения.

Источники и допущения

Материалы ниже поясняют определения и используемые зависимости. Числа в примерах — учебные условия, а ограничения формы описаны на этой странице.

• комплексные числа

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Как записать результат с отрицательной мнимой частью?

Если форма показывает действительную часть 11 и мнимую −2, запись числа — 11 − 2i. Дополнительный плюс перед минусом не нужен.

Почему модуль положителен при отрицательных частях?

Модуль — длина вектора. Он вычисляется через квадраты координат и не бывает отрицательным; знаки частей влияют на направление, а не на знак длины.

Чем сопряжённое число отличается от исходного?

У сопряжённого a − bi сохраняется действительная часть и меняется знак мнимой. Геометрически это отражение относительно действительной оси. Отдельной кнопки сопряжения здесь нет.

Можно ли ввести число в полярной форме?

Нет. Форма принимает только действительную и мнимую части. Аргумент и модуль выдаются для результата; полярный ввод, степени и извлечение комплексных корней не поддерживаются.