Калькулятор длины дуги окружности

Рассчитайте круговую дугу по двум независимым величинам. Выбор ветви важен: одна хорда с тем же радиусом ограничивает две разные дуги.

Дуга, хорда и стрела: что именно измерено

Длина дуги s измеряется вдоль окружности. Хорда c — прямой отрезок между её концами. Радиус R идёт от центра к окружности. Стрела h — расстояние от середины хорды до середины выбранной дуги по перпендикуляру к хорде. Центральный угол θ определяет долю окружности.

Одна хорда и один радиус обычно задают две дуги: малую и большую. Их длины в сумме дают 2πR. Указание хорды и стрелы определяет ветвь самостоятельно: высокая стрела может соответствовать большой дуге. Радиус и заданный угол уже однозначно выбирают дугу, поэтому второй переключатель ветви в этом режиме не нужен.

Какой режим выбрать

Таблицу можно прокрутить вправо.

1. Выберите пару известных величин и одну единицу всех линейных размеров.
2. Для угла выберите градусы или радианы. Один радиан — не один градус: 180°=π рад.
3. Если известны радиус и хорда, уточните малую или большую ветвь.
4. Сверьте длину, хорду и стрелу со схемой. Последовательность результатов отражает одну и ту же выбранную дугу.

Основная формула и дополнительные величины

s=Rθ; c=2R·sin(θ/2); h=2R·sin²(θ/4); Sсектора=R²θ/2.

Во всех формулах θ измеряется в радианах. При градусах s=πRα/180. Стрела вычисляется через квадрат синуса, чтобы для малого угла не вычитать два почти одинаковых числа в выражении 1−cos(θ/2). Площадь сектора — часть круга между двумя радиусами, она не является площадью сегмента между хордой и дугой.

Примеры расчёта

Полная окружность и вырожденные случаи

Поддерживается одна окружность, 0…360°. При нулевом угле s=c=h=0. Для полной окружности s=2πR, концы совпадают и c=0, а стрела выбранной полной ветви по принятому определению равна 2R. Нулевую хорду в режиме «радиус и хорда» можно трактовать как нулевую или полную дугу — выбор задаёт ветвь.

Хорда не может быть больше диаметра. В режиме «хорда и стрела» обе величины должны быть положительными; бесконечный радиус прямой линии здесь не вычисляется. Нулевой угол с положительной длиной не позволяет найти конечный радиус.

Что учитывать при изготовлении арки

Схема — геометрия выбранной окружности. Она не рассчитывает нейтральный слой при гибке, деформации, припуски, соединения и расход заготовки. Длина по наружной и внутренней поверхности материала отличается; используемый радиус должен соответствовать именно той линии, длина которой нужна.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Чем длина дуги отличается от хорды и что нужно измерять?

Дуга идёт по окружности, хорда соединяет те же концы по прямой. Если измеряете пролёт между концами арки, это хорда; гибкая лента вдоль круглого края измеряет дугу. При R=2 м и угле 90° дуга равна π≈3,141593 м, а хорда — 2√2≈2,828427 м. Подстановка хорды как длины дуги даст неверный угол или радиус.

Как измерить стрелу и можно ли по ней одной найти дугу?

Стрелу h измеряют по перпендикуляру от середины хорды до середины выбранной дуги. Нужна также длина хорды c: одной высоте соответствует множество окружностей. В режиме «Хорда и стрела» радиус получается как R=c²/(8h)+h/2. Например, c=4 м и h=2 м дают R=2 м, полуокружность 180° и дугу 2π≈6,283185 м. Высота от пола до вершины арки не является стрелой, если хорда расположена выше пола.

Когда выбирать малую дугу, а когда большую?

Две точки на окружности обычно ограничивают две дуги. В режиме радиуса и хорды выберите ту ветвь, которая соответствует вашей детали: малая охватывает до 180°, большая — от 180°. Например, R=5 м и c=6 м дают малую дугу около 6,435011 м, а большую — 24,980915 м; сумма равна 2πR. При заданном центральном угле или хорде со стрелой ветвь уже определена исходными данными.

Может ли стрела быть больше радиуса?

Да, если измеряется стрела большой дуги от хорды до её удалённой середины. Например, хорда 6 м и стрела 9 м дают R=5 м и большую дугу с углом около 286,260205°. Не заменяйте такую стрелу расстоянием до ближайшей части окружности: это выберет другую дугу. Отрицательная стрела здесь не обозначает направление изгиба и не принимается.

Как ввести радианы, если известны градусы, и наоборот?

Выберите единицу угла в форме; калькулятор сам выполняет перевод θ=α·π/180. При α=180° значение θ равно π радиан. В поле вводится число, поэтому вместо записи «π» можно ввести 3,141592653589793. Радиус и все другие линейные размеры задавайте в одной выбранной единице; переключение единицы меняет смысл введённых чисел, поэтому предварительно пересчитайте их.

Почему хорда больше диаметра или угол больше 360° вызывают ошибку?

В одной окружности максимальная хорда равна диаметру 2R, а выбранная дуга ограничена одним оборотом. Проверьте, не введён ли диаметр вместо радиуса и совпадают ли единицы размеров. Если известна длина дуги, она должна быть не больше 2πR. Несколько витков, эллипс или произвольный изгиб требуют другой модели и не описываются этой формой.

Что означают нулевая хорда и стрела при полном круге?

При совпадающих концах хорда равна нулю, но выбранная ветвь может быть нулевой дугой или полной окружностью. В режиме радиуса и хорды это различается переключателем ветви. Здесь стрела измеряется до середины выбранной дуги: у полной окружности она равна 2R, у нулевой дуги — нулю. По одной паре нулевая хорда/стрела восстановить неизвестный радиус нельзя; режим хорды со стрелой требует положительных размеров.

Можно ли взять результат как длину заготовки для гибки трубы или листа?

Результат — длина идеальной круговой линии по заданному радиусу. Если радиус измерен по внешнему краю материала, он не обязательно совпадает с радиусом линии, по которой считают развёртку. Толщина, положение нейтрального слоя, припуски и изменение формы при гибке в модель не входят. Для заготовки сначала определите расчётный радиус по технологии, затем отдельно учтите необходимые припуски.